বর্গমূল নির্ণয় কর : cosθ + isinθ, i=-1

বর্গমূল নির্ণয় কর : $\cos θ + i \sin θ, i = \sqrt{- 1}$

Created: 4 years ago | Updated: 10 months ago

Updated: 10 months ago

ক

$\pm (\cos \frac{1}{2} θ + i \sin \frac{1}{2} θ)$

RUET RUET উচ্চতর গণিত 2015 জটিল সংখ্যা (Complex Numbers)

1.2k

উত্তরঃ

ধরি, $x + iy = \sqrt{\cos θ + i s i n θ}$

$\Rightarrow x^{2} - y^{2} + 2 ixy = c o s θ + i s i n θ$

এখন, $x^{2} - y^{2} = c o s θ; 2 xy = s i n θ;$

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = {(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2}$

$\Rightarrow c o s^{2} θ + s i n^{2} θ = 1$

$∴ x^{2} + y^{2} = 1$

আবার, $2 x^{2} = 1 + c o s θ$

$\Rightarrow x^{2} = \frac{1}{2} (1 + c o s θ)$

$∴ x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 + c o s θ}$

$2 y^{2} = 1 - c o s θ ∴ y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - c o s θ}$

$∴$ নির্ণেয় বর্গমূল $= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \{\sqrt{1 + c o s θ} + i \sqrt{1 - c o s θ}\} (Ans)$

Almumen

3 years ago

MCQ: 937

Practice

জটিল সংখ্যা (Complex Numbers)

জটিল সংখ্যা (Complex Numbers) হলো একটি ধরনের সংখ্যা যা বাস্তব (Real) এবং কাল্পনিক (Imaginary) অংশ নিয়ে গঠিত। এটি সাধারণত $ z = a + bi $ আকারে প্রকাশিত হয়, যেখানে:

$ a $ হলো বাস্তব অংশ (Real Part)।
$ b $ হলো কাল্পনিক অংশ (Imaginary Part)।
$ i $ হলো কাল্পনিক একক (Imaginary Unit), যার মান $ i^2 = -1 $।

জটিল সংখ্যা ধারণা

জটিল সংখ্যা ব্যবহার করা হয় গণিত, পদার্থবিজ্ঞান এবং ইঞ্জিনিয়ারিং-এর বিভিন্ন ক্ষেত্রে। এটি বিশেষ করে ইলেকট্রনিক সার্কিট, কম্পিউটার ইমেজ প্রসেসিং এবং তরঙ্গ বিশ্লেষণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

জটিল সংখ্যার বিভিন্ন অপারেশন

১. যোগ: দুটি জটিল সংখ্যা $ z_1 = a + bi $ এবং $ z_2 = c + di $ যোগফল হবে $ (a+c) + (b+d)i $।

২. বিয়োগ: দুটি জটিল সংখ্যা $ z_1 = a + bi $ এবং $ z_2 = c + di $ বিয়োগের ফলাফল হবে $ (a-c) + (b-d)i $।

৩. গুণ: দুটি জটিল সংখ্যা $ z_1 = a + bi $ এবং $ z_2 = c + di $ গুণফল হবে $ (ac - bd) + (ad + bc)i $।

৪. ভাগ: দুটি জটিল সংখ্যা $ z_1 = a + bi $ এবং $ z_2 = c + di $ ভাগের ফলাফল পেতে হলে নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করতে হবে:

\[
\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}
\]

জটিল সংখ্যার মান

জটিল সংখ্যার মান বা মডুলাস (Modulus) হল একটি সংখ্যা $ z = a + bi $ এর জন্য $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $। এটি জটিল সংখ্যা থেকে উৎপন্ন একক দূরত্ব নির্ধারণ করে।

জটিল সংখ্যার কনজুগেট

একটি জটিল সংখ্যা $ z = a + bi $ এর কনজুগেট $ \overline{z} = a - bi $ আকারে হয়। কনজুগেট জটিল সংখ্যা বিশ্লেষণে সহায়ক।

জটিল সংখ্যা ব্যবহার

জটিল সংখ্যার ব্যবহার গণিতের জ্যামিতিক, ত্রিকোণমিতিক, এবং বিশ্লেষণমূলক (Analytic) ক্ষেত্রগুলোতে ব্যাপকভাবে দেখা যায়।