বর্গমূল নির্ণয় কর : cosθ + isinθ, i=-1

বর্গমূল নির্ণয় কর : $\cos θ + i \sin θ, i = \sqrt{- 1}$

Created: 4 years ago | Updated: 8 months ago

Updated: 8 months ago

ক

$\pm (\cos \frac{1}{2} θ + i \sin \frac{1}{2} θ)$

RUET RUET উচ্চতর গণিত 2015 জটিল সংখ্যা (Complex Numbers)

1.2k

উত্তরঃ

ধরি, $x + iy = \sqrt{\cos θ + i s i n θ}$

$\Rightarrow x^{2} - y^{2} + 2 ixy = c o s θ + i s i n θ$

এখন, $x^{2} - y^{2} = c o s θ; 2 xy = s i n θ;$

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = {(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2}$

$\Rightarrow c o s^{2} θ + s i n^{2} θ = 1$

$∴ x^{2} + y^{2} = 1$

আবার, $2 x^{2} = 1 + c o s θ$

$\Rightarrow x^{2} = \frac{1}{2} (1 + c o s θ)$

$∴ x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 + c o s θ}$

$2 y^{2} = 1 - c o s θ ∴ y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - c o s θ}$

$∴$ নির্ণেয় বর্গমূল $= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \{\sqrt{1 + c o s θ} + i \sqrt{1 - c o s θ}\} (Ans)$

Almumen

3 years ago

MCQ: 937

Practice

ডাউনলোড করুন স্যাট একাডেমি অ্যাপ

জটিল সংখ্যা (Complex Numbers) টপিকের বিষয়বস্তুঃ

জটিল সংখ্যা (Complex Numbers) হলো একটি ধরনের সংখ্যা যা বাস্তব (Real) এবং কাল্পনিক (Imaginary) অংশ নিয়ে গঠিত। এটি সাধারণত $ z = a + bi $ আকারে প্রকাশিত হয়, যেখানে:

$ a $ হলো বাস্তব অংশ (Real Part)।
$ b $ হলো কাল্পনিক অংশ (Imaginary Part)।
$ i $ হলো কাল্পনিক একক (Imaginary Unit), যার মান $ i^2 = -1 $।

জটিল সংখ্যা ধারণা

জটিল সংখ্যা ব্যবহার করা হয় গণিত, পদার্থবিজ্ঞান এবং ইঞ্জিনিয়ারিং-এর বিভিন্ন ক্ষেত্রে। এটি বিশেষ করে ইলেকট্রনিক সার্কিট, কম্পিউটার ইমেজ প্রসেসিং এবং তরঙ্গ বিশ্লেষণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

জটিল সংখ্যার বিভিন্ন অপারেশন

১. যোগ: দুটি জটিল সংখ্যা $ z_1 = a + bi $ এবং $ z_2 = c + di $ যোগফল হবে $ (a+c) + (b+d)i $।

২. বিয়োগ: দুটি জটিল সংখ্যা $ z_1 = a + bi $ এবং $ z_2 = c + di $ বিয়োগের ফলাফল হবে $ (a-c) + (b-d)i $।

৩. গুণ: দুটি জটিল সংখ্যা $ z_1 = a + bi $ এবং $ z_2 = c + di $ গুণফল হবে $ (ac - bd) + (ad + bc)i $।

৪. ভাগ: দুটি জটিল সংখ্যা $ z_1 = a + bi $ এবং $ z_2 = c + di $ ভাগের ফলাফল পেতে হলে নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করতে হবে:

\[
\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}
\]

জটিল সংখ্যার মান

জটিল সংখ্যার মান বা মডুলাস (Modulus) হল একটি সংখ্যা $ z = a + bi $ এর জন্য $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $। এটি জটিল সংখ্যা থেকে উৎপন্ন একক দূরত্ব নির্ধারণ করে।

জটিল সংখ্যার কনজুগেট

একটি জটিল সংখ্যা $ z = a + bi $ এর কনজুগেট $ \overline{z} = a - bi $ আকারে হয়। কনজুগেট জটিল সংখ্যা বিশ্লেষণে সহায়ক।

জটিল সংখ্যা ব্যবহার

জটিল সংখ্যার ব্যবহার গণিতের জ্যামিতিক, ত্রিকোণমিতিক, এবং বিশ্লেষণমূলক (Analytic) ক্ষেত্রগুলোতে ব্যাপকভাবে দেখা যায়।